જો f(x) = lim_{n to infty} frac{[x^2] + [(2x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણને $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} [(kx)^2]}{n^3}$ આપેલ છે.મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[y] = y - \{y\}$,જ્યા

Vedclass · Accepted Answer

દરેક જગ્યાએ સતત

Vedclass · Answer

(A) આપણને $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} [(kx)^2]}{n^3}$ આપેલ છે.મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[y] = y - \{y\}$,જ્યાં $0 \le \{y\} $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} ((kx)^2 - \{(kx)^2\})}{n^3}$.$f(x) = \lim_{n 	o \infty} \left( \frac{x^2 \sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} - \frac{\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}}{n^3} ight)$.કારણ કે $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,પ્રથમ પદ $\lim_{n 	o \infty} \frac{x^2 n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{x^2}{6} 	imes 2 = \frac{x^2}{3}$ થાય છે.બીજા પદમાં $\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}$ નો સમાવેશ થાય છે. $0 \le \{(kx)^2\} તેથી,$f(x) = \frac{x^2}{3}$.$f(x) = \frac{x^2}{3}$ એ બહુપદી વિધેય હોવાથી,તે તમામ $x \in R$ માટે સતત છે.

જો $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{[x^2] + [(2x)^2] + [(3x)^2] + \cdots + [(nx)^2]}{n^3}$ હોય,તો $f(x)$ એ (જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે).

Similar Questions

વિધેય $f(x) = [\frac{x^2}{2}] - [\sqrt{x}]$ માટે $x \in [0, 4]$ અંતરાલમાં અસતત બિંદુઓની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

વિધેય $f(x) = (x - 2) \log_e x$ ધ્યાનમાં લો. તો સમીકરણ $x \log_e x = 2 - x$

જો $f(x) = \begin{cases} x \sin x, & 0 < x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x), & \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$,તો

$k$ $(k > 0)$ ની કઈ કિંમત માટે વિધેય $f(x) = \frac{(e^x - 1)^4}{\sin(\frac{x^2}{k^2}) \log(1 + \frac{x^2}{2})}$,જ્યાં $x \neq 0$ અને $f(0) = 8$,એ $x = 0$ આગળ સતત છે?

જો $f(x) = \cos \left[ \frac{\pi}{x} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (x - 1) \right)$ હોય,તો $f(x)$ કયા બિંદુએ સતત છે? (જ્યાં $[x]$ એ $x$ નું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module